Web Storageはこちらの記事でご紹介した通り、テキストとして保存します。
ですので、Web StorageでJSONを使用する際には、保存時にはテキスト化、使用時にはJSON化する必要があります。
JSONをテキスト化
JSONをテキスト化して、localStorageに保存します。
localStorage.setItem("key", JSON.stringify(json));
JSONテキストをJSON化
localStorageのJSONをJSON化してJSONとして使用します。
JSON.parse(localStorage['key']);
と、して簡単にWeb StorageでJSONを扱うことが出来ます。